Pratique Sistemas Lineares e Resolva Dúvidas com Passo a Passo
Aqui vai uma série de questões sobre sistemas lineares para você treinar e entender melhor como funcionam. Vamos lá!
Questão 1
Considere o seguinte sistema linear:
[
\begin{cases}
2x + 3y = 12 \
x – y = 2
\end{cases}
]
Objetivo: Encontre os valores de (x) e (y) que resolvem esse sistema.
Passo a Passo:
Primeiro, isolamos (x) da segunda equação:
[
x – y = 2 \Rightarrow x = y + 2
]
Agora, substituímos esse valor de (x) na primeira equação:
[
2(y + 2) + 3y = 12
]
Isso se simplifica para:
[
2y + 4 + 3y = 12
]
Resolvendo, temos:
[
5y + 4 = 12 \Rightarrow 5y = 12 – 4 \Rightarrow 5y = 8 \Rightarrow y = \frac{8}{5}
]
Agora que temos (y), vamos descobrir (x):
[
x = y + 2 = \frac{8}{5} + 2 = \frac{8}{5} + \frac{10}{5} = \frac{18}{5}
]
Resposta Correta:
[
x = \frac{18}{5} \quad e \quad y = \frac{8}{5}
]
Questão 2
Considere o sistema:
[
\begin{cases}
x + y = 6 \
x – y = 2
\end{cases}
]
Objetivo: Qual é o valor de (x) e (y)?
Passo a Passo:
Vamos somar as duas equações:
[
(x + y) + (x – y) = 6 + 2
]
Isso resulta em:
[
2x = 8 \Rightarrow x = 4
]
Agora, substituindo (x) na primeira equação:
[
4 + y = 6 \Rightarrow y = 6 – 4 \Rightarrow y = 2
]
Resposta Correta:
[
x = 4 \quad e \quad y = 2
]
Questão 3
Uma loja vende dois tipos de cestas básicas:
- Cesta A: 2 kg de arroz e 1 kg de feijão.
- Cesta B: 1 kg de arroz e 2 kg de feijão.
Em um mês, a loja vendeu 50 cestas, totalizando 80 kg de arroz e 70 kg de feijão. Quantas cestas de cada tipo foram vendidas?
Definindo Variáveis:
- (x): número de cestas A vendidas.
- (y): número de cestas B vendidas.
Montando o sistema de equações:
- (x + y = 50) (total de cestas).
- (2x + y = 80) (arroz).
- (x + 2y = 70) (feijão).
Usando a primeira equação:
[
y = 50 – x
]
Substituindo (y) na segunda equação:
[
2x + (50 – x) = 80
]
[
2x + 50 – x = 80 \Rightarrow x + 50 = 80 \Rightarrow x = 30
]
Assim, substituímos (x) na primeira equação para encontrar (y):
[
30 + y = 50 \Rightarrow y = 50 – 30 \Rightarrow y = 20
]
Solução:
Cestas A: 30; Cestas B: 20.
Questão 4
Uma gráfica produz dois tipos de convites:
- Convite Simples (S): R$ 2,00 cada, 3 minutos para produzir.
- Convite Especial (E): R$ 5,00 cada, 5 minutos para produzir.
Em um dia, foram produzidos 200 convites, utilizando 700 minutos de trabalho. Quantos convites de cada tipo foram produzidos?
Definindo Variáveis:
- (x): número de convites Simples.
- (y): número de convites Especiais.
Montando as equações:
- (x + y = 200)
- (3x + 5y = 700)
Isolando (y) na primeira equação:
[
y = 200 – x
]
Substituindo na segunda:
[
3x + 5(200 – x) = 700
]
[
3x + 1000 – 5x = 700 \Rightarrow -2x = 700 – 1000 \Rightarrow -2x = -300 \Rightarrow x = 150
]
Agora, para encontrar (y):
[
150 + y = 200 \Rightarrow y = 200 – 150 \Rightarrow y = 50
]
Resposta Corretas:
Cestas Simples: 150; Cestas Especiais: 50.
Questão 5
Uma loja de artigos escolares vende três tipos de canetas:
- Esferográficas (E): R$ 2,00 cada.
- Gel (G): R$ 3,00 cada.
- Técnica (T): R$ 5,00 cada.
No final de um dia, foram vendidas 120 canetas, totalizando R$ 300,00. O número de canetas esferográficas vendidas foi oito vezes o número de canetas técnicas.
Definindo Variáveis:
- (E): canetas esferográficas.
- (G): canetas gel.
- (T): canetas técnicas.
Montamos o sistema:
- (E + G + T = 120)
- (2E + 3G + 5T = 300)
- (E = 8T)
Substituindo (E) nas outras equações:
Primeira equação:
[
8T + G + T = 120 \Rightarrow 9T + G = 120
]
Segunda equação:
[
2(8T) + 3G + 5T = 300 \Rightarrow 16T + 3G + 5T = 300 \Rightarrow 21T + 3G = 300
]
Resolvendo esse sistema:
Subtraindo as equações:
[
(9T + G) – (7T + G) = 120 – 100 \Rightarrow 2T = 20 \Rightarrow T = 10
]
Substituindo (T) de volta:
[
G = 120 – 9T \Rightarrow G = 120 – 90 = 30
]
[
E = 8T = 80
]
Resposta:
Foram vendidas:
- 80 canetas esferográficas
- 30 canetas gel
- 10 canetas técnicas
Essas questões vão ajudar a praticar sistemas lineares. Continue treinando!
