Os números racionais são aqueles que podem ser expressos como frações, ou seja, como o resultado da divisão de dois números inteiros. Para entender melhor: um número racional pode ser representado na forma ( \frac{a}{b} ), onde ( a ) e ( b ) são números inteiros e ( b \neq 0 ).
Aqui, o número ( a ) é conhecido como numerador, e ( b ) como denominador. É interessante notar que os números racionais incluem não apenas as frações, mas também os números inteiros. Isso acontece porque qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração com denominador igual a 1.
Além das frações e dos números inteiros, os números decimais finitos e os decimais periódicos também são considerados racionais, já que conseguem ser convertidos em frações. Por exemplo, 0,75 pode ser escrito como ( \frac{3}{4} ), e 0,333… pode ser escrito como ( \frac{1}{3} ). Vamos explorar isso com mais detalhes.
O que é o conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais é denotado pela letra ( \mathbb{Q} ), que vem da palavra latina “quotient”, que significa “quociente”. Este conjunto inclui todos os números que podem ser expressos na forma ( \frac{a}{b} ), onde ( a ) e ( b ) são números inteiros, e ( b \neq 0 ).
Dentro deste conjunto, encontramos não só os números inteiros, mas também as frações simples, os números decimais finitos e os periódicos.
Operações com números racionais
Adição e subtração de números racionais
Para somar ou subtrair números racionais, é fundamental que os denominadores sejam iguais. Nesse caso, devemos apenas somar ou subtrair os numeradores, mantendo o denominador inalterado.
Exemplo de soma:
Se tivermos ( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} ), somamos os numeradores:
( 2 + 1 = 3 ), então:
[ \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5} ]
Exemplo de subtração:
Por exemplo, ( \frac{4}{7} – \frac{1}{7} ):
Subtraímos os numeradores:
( 4 – 1 = 3 ), e assim:
[ \frac{4}{7} – \frac{1}{7} = \frac{3}{7} ]
Exemplo com denominadores diferentes:
Quando os denominadores são diferentes, precisamos igualá-los. Para isso, devemos encontrar um denominador comum, que muitas vezes é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores.
Suponha que queremos somar ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ):
Primeiro, encontramos o MMC de 3 e 4, que é 12.
Agora, reescrevemos as frações:
[ \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \quad \text{e} \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12} ]
Portanto, a soma fica:
[ \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} ]
Multiplicação de números racionais
Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si. Vamos ver um exemplo:
Se temos ( \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} ), fazemos:
[ 2 \times 3 = 6 \quad \text{(numerador)} ]
[ 5 \times 4 = 20 \quad \text{(denominador)} ]
Assim, o resultado é:
[ \frac{6}{20} ]
Essa fração pode ser simplificada ainda mais. O maior divisor comum entre 6 e 20 é 2, então:
[ \frac{6 \div 2}{20 \div 2} = \frac{3}{10} ]
Divisão de números racionais
Para dividir frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda. O inverso de uma fração ( \frac{a}{b} ) é ( \frac{b}{a} ).
Por exemplo, para dividir ( \frac{2}{3} \div \frac{1}{4} ), vamos multiplicar ( \frac{2}{3} ) pelo inverso de ( \frac{1}{4} ):
[ \frac{2}{3} \times \frac{4}{1} = \frac{8}{3} ]
Potenciação
Quando elevamos uma fração à potência, aplicamos a potência ao numerador e ao denominador separadamente. Por exemplo, para ( \left(\frac{2}{3}\right)^2 ):
[ \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} ]
Simplificação
Simplificar uma fração significa reduzir tanto o numerador quanto o denominador pelo maior divisor comum (MDC) entre eles. Por exemplo:
Para simplificar ( \frac{8}{12} ), primeiro encontramos o MDC, que é 4:
[ \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} ]
É fundamental que, em qualquer operação matemática, a resposta final seja, sempre que possível, apresentada na forma simplificada.
Exercícios com números racionais
Agora que já abordamos o conceito e as operações envolvendo números racionais, vamos praticar.
Exercício 1
Identifique quais dos números a seguir são racionais:
- 3
- 0,25
- 2,666…
- ( \sqrt{2} )
Exercício 2
Resolva a operação:
[ \frac{3}{4} + \frac{5}{8} ]
Exercício 3
Resolva a operação matemática:
[ \frac{3}{5} – \frac{1}{2} ]
Exercício 4
Considere os números racionais ( \frac{2}{3} ) e ( \frac{4}{1} ):
- Verifique se a soma ( \frac{2}{3} + \frac{4}{1} ) é um número racional.
- Verifique se a multiplicação ( \frac{2}{3} \times \frac{4}{1} ) é um número racional.
Conclusão
Os números racionais são fundamentais na matemática e estão presentes em diversas situações do cotidiano. Compreender como trabalhar com eles, por meio de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e simplificação, é essencial para resolver problemas matemáticos. Pratique os exercícios e aprofunde seu conhecimento sobre esse tema que é tão importante!
