Os produtos notáveis são fórmulas que facilitam cálculos algébricos. Eles são úteis para resolver expressões ou simplificar operações matemáticas. Neste texto, vamos ver alguns exemplos práticos e resolver juntos para entender melhor como funcionam.
Questão 1: Quadrado da Soma
O quadrado da soma de dois números é igual a 169. Um desses números é 8. Precisamos descobrir qual é o outro número.
Usamos a fórmula do quadrado da soma:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
Como sabemos que ( (a + b)^2 = 169 ), podemos tirar a raiz quadrada, resultando em ( a + b = 13 ) ou ( a + b = -13 ). Como estamos lidando com positivos, usamos ( a + b = 13 ).
Aqui, temos:
[
8 + b = 13
]
Para encontrar ( b ), subtraímos 8 de ambos os lados:
[
b = 13 – 8
]
Assim, o valor de ( b ) é 5. Portanto, o outro número é 5.
Questão 2: Quadrado da Diferença
Agora, vamos analisar o valor do quadrado da diferença de dois números, referente a 64. Um desses números é 12. Precisamos determinar o outro número.
A fórmula para o quadrado da diferença é:
[
(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2
]
Sabendo que ( (a – b)^2 = 64 ), tiramos a raiz quadrada:
[
a – b = 8 \quad \text{ou} \quad a – b = -8
]
Escolhemos ( a – b = 8 ) para seguir em frente, pois está mais alinhado com o problema.
Ao substituir:
[
12 – b = 8
]
Da mesma forma, subtraímos:
[
-b = 8 – 12 \quad \Rightarrow \quad -b = -4 \quad \Rightarrow \quad b = 4
]
Portanto, o outro número é 4.
Questão 3: Soma e Produto
Temos uma situação onde ( x + y = 12 ) e ( x \cdot y = 17 ). Vamos determinar o valor de ( x ) e ( y ).
Essas duas equações são conhecidas como um sistema de equações. A primeira diz que a soma dos números é 12 e a segunda fala sobre o produto, que resulta em 17.
Podemos usar a primeira equação para expressar ( y ) em termos de ( x ):
[
y = 12 – x
]
Em seguida, substituímos essa expressão na segunda equação:
[
x(12 – x) = 17
]
Desenvolvendo a equação:
[
12x – x^2 = 17 \quad \Rightarrow \quad x^2 – 12x + 17 = 0
]
Resolvemos essa equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
]
Neste caso:
[
a = 1, b = -12, c = 17
]
Calculando o discriminante:
[
D = (-12)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 17 = 144 – 68 = 76
]
Agora, substituímos na fórmula:
[
x = \frac{12 \pm \sqrt{76}}{2}
]
Assim, os valores de ( x ) e, consequentemente, de ( y ) são obtidos. Pelas calculadoras, os valores de ( x ) e ( y ) são aproximadamente 11 e 1, respectivamente.
Questão 4: Quadrado da Soma e Produto Dobrado
Considere ( a + b ) que resulta em 81 e o dobro do produto desses números, que equivale a 36. Precisamos encontrar o valor de ( ab ).
Utilizando a fórmula:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
Sabendo que ( (a + b)^2 = 81 ):
[
a^2 + b^2 = 81 – 2ab
]
Desde que a declaração nos dá ( ab = 18 ) (porque ( 2ab = 36 )), podemos substituir:
[
a^2 + b^2 = 81 – 36 = 45
]
Logo, temos que ( a^2 + b^2 = 45 ). E para encontrar ( ab ), lembramos que:
[
ab = \sqrt{(a + b)^2 – (a^2 + b^2)} = \sqrt{81 – 45} = \sqrt{36} = 6
]
Assim, o resultado correto é 6.
Questão 5: Cubo da Soma
Por fim, queremos desenvolver a expressão do cubo da soma de dois números ( a + b ). A fórmula para isso é:
[
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
]
Expandindo, portanto, precisamos calcular:
[
(a+b)^3 = 8 + 3 \cdot 2ab + 27
]
Para resolver, vamos lembrar que ainda precisamos identificar o termo ( ab ), já que não temos o valor preciso dele.
Considerando três variáveis, aplicamos ( ab = 5 ):
[
a^3 + b^3 + 3 \cdot a \cdot b
]
Usando o cálculo, somamos e chegamos à resposta. Para propósitos de exemplo atual, podemos adotar valores que correspondem ao produto e finalmente computar o resultado.
Essas questões auxiliam a entender melhor os produtos notáveis. Praticar é fundamental para fixar o aprendizado. Continue fazendo exercícios, e não hesite em buscar mais desafios para aprimorar seus conhecimentos!
