Equações do 2º grau são equações polinomiais que envolvem um termo elevado ao quadrado. Elas aparecem em muitos contextos do nosso dia a dia. Por isso, é comum vê-las nas aulas de Matemática e também em provas e concursos.
Estudar e entender essas equações é essencial! Então, bora praticar com exercícios práticos para fixar o que foi aprendido.
Exercício 1
Vamos resolver a equação ( x^2 – 7x + 10 = 0 ) utilizando os conceitos de soma e produto das raízes. Escolha a alternativa correta para as raízes da equação.
Alternativas:
- a) 1 e 6
- b) 3 e 4
- c) -2 e -5
- d) 2 e 5
Gabarito explicado:
Para resolver essa equação do 2º grau, sabemos que a forma padrão é ( ax^2 + bx + c = 0 ). No nosso caso, temos:
- ( a = 1 )
- ( b = -7 )
- ( c = 10 )
As raízes podem ser determinadas pela soma e o produto:
- Soma das raízes (S): ( S = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7 )
- Produto das raízes (P): ( P = \frac{c}{a} = \frac{10}{1} = 10 )
Precisamos encontrar dois números que, quando somados, dêem 7 e, quando multiplicados, resultem em 10. Os números 2 e 5 satisfazem essas condições, pois:
- ( 2 + 5 = 7 )
- ( 2 \cdot 5 = 10 )
Portanto, as raízes da equação são 2 e 5. A alternativa correta é:
d) 2 e 5
Exercício 2
Agora, vamos resolver a equação ( 2x^2 – 5x – 3 = 0 ) usando a fórmula de Bhaskara e identificar a alternativa correta.
A equação é:
- ( a = 2 )
- ( b = -5 )
- ( c = -3 )
Precisamos calcular o discriminante ( \Delta ):
[
\Delta = b^2 – 4ac
]
Substituindo os valores temos:
[
\Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49
]
Como ( \Delta > 0 ), a equação possui duas raízes:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
]
Substituindo:
[
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}
]
Calculando as duas possibilidades:
- Para ( +7 ):
[
x_1 = \frac{12}{4} = 3
] - Para ( -7 ):
[
x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
]
As soluções são ( x = 3 ) e ( x = -\frac{1}{2} ).
Alternativa correta:
Exercício 3
Uma fábrica de brinquedos precisa projetar uma caixa retangular. O comprimento deve ser 3 cm maior que a largura, e a área da base deve ser 40 cm².
Defina as variáveis:
Seja ( x ) a largura da base. Então, o comprimento é ( x + 3 ).
A área da base é:
[
A = largura \times comprimento
]
Assim, temos:
[
40 = x(x + 3)
]
Vamos reorganizar a equação:
[
40 = x^2 + 3x
]
Ou:
[
x^2 + 3x – 40 = 0
]
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
- ( a = 1 )
- ( b = 3 )
- ( c = -40 )
Calculamos o discriminante:
[
\Delta = 3^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169
]
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm 13}{2}
]
As soluções são:
- ( x_1 = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x_2 = \frac{-16}{2} = -8 ) (não faz sentido para largura)
Portanto, a largura da base é 5 cm.
Exercício 4
Considere a equação ( x^2 – 5x + 6 = 0 ). Vamos resolvê-la utilizando o método da soma e produto.
As raízes são 2 e 3, pois:
- A soma:
[
2 + 3 = 5
] - O produto:
[
2 \cdot 3 = 6
]
Portanto, as alternativas estão corretas:
a) x1 = 2, x2 = 3.
Exercício 5
Uma função quadrática tem como raízes ( x = -1 ) e ( x = 4 ), e o coeficiente do termo ( x^2 ) é 2.
A forma da função é:
[
f(x) = a(x – r_1)(x – r_2)
]
Substituindo:
[
f(x) = 2(x + 1)(x – 4)
]
Desenvolvendo:
[
f(x) = 2[(x^2 – 4x + x – 4)] = 2[x^2 – 3x – 4] = 2x^2 – 6x – 8
]
Assim, a expressão completa da função é:
f(x) = 2x² – 6x – 8.
Conclusão
Esses exercícios mostram como resolver equações do 2º grau com diferentes métodos. Praticar é fundamental para entender bem as equações. Divirta-se estudando!
