Os produtos notáveis são expressões que ajudam a simplificar cálculos numéricos e algébricos. Eles são bem úteis em matemática e, por isso, vamos fazer alguns exercícios para fixar o conteúdo.
Questão 1
O quadrado da soma de dois números é igual a 169. Se um desses números é 8, qual é o outro número?
Pra resolver isso, precisamos da fórmula do quadrado da soma:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
Aqui, sabemos que ((a + b)^2 = 169). Então, tiramos a raiz quadrada:
[
a + b = \sqrt{169} = 13
]
Como um dos números é 8, substituímos:
[
8 + b = 13
]
Resolvendo isso, encontramos:
[
b = 13 – 8 = 5
]
Portanto, o outro número é 5.
Questão 2
Agora, o quadrado da diferença de dois números é 64. Um deles é 12, e precisamos descobrir o outro número.
Usando a fórmula do quadrado da diferença:
[
(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2
]
Sabemos que ((a – b)^2 = 64). Tiramos a raiz:
[
a – b = \pm \sqrt{64} = \pm 8
]
Usando (a = 12):
Para a soma positiva:
[
12 – b = 8 \implies b = 12 – 8 = 4
]- Para a soma negativa:
[
12 – b = -8 \implies b = 12 + 8 = 20
]
Os possíveis valores de (b) são 4 ou 20.
Questão 3
Na próxima, temos os números (x) e (y) com (x + y = 7) e (x \cdot y = 12). Precisamos encontrar (x^2 + y^2).
A fórmula que usamos aqui é:
[
x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy
]
Substituindo os valores que temos:
[
x^2 + y^2 = (7)^2 – 2 \cdot 12
]
Calculando:
[
x^2 + y^2 = 49 – 24 = 25
]
Assim, o resultado é 25.
Questão 4
Sabendo que o quadrado da soma de dois números (a) e (b) é 81, e que o dobro do produto deles é igual a 18, precisamos encontrar (a^2 + b^2).
Utilizando as fórmulas:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
E sabemos que:
[
2ab = 18 \implies ab = 9
]
Substituindo ( (a + b)^2 = 81):
[
81 = a^2 + 2(9) + b^2 \implies 81 = a^2 + 18 + b^2
]
Resolvendo, temos:
[
a^2 + b^2 = 81 – 18 = 63
]
Portanto, (a^2 + b^2) é igual a 63.
Questão 5
Por último, precisamos usar a fórmula do cubo da soma de dois números (a + b):
[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
]
Agora, queremos calcular ((4a + 3b)^3).
Calculando cada parte:
- ( (4a)^3 = 64a^3 )
- ( 3(4a)^2(3b) = 3 \cdot 16a^2 \cdot 3b = 144a^2b )
- ( 3(4a)(3b)^2 = 3 \cdot 4a \cdot 9b^2 = 108ab^2 )
- ( (3b)^3 = 27b^3 )
Agora, juntando tudo:
[
(4a + 3b)^3 = 64a^3 + 144a^2b + 108ab^2 + 27b^3
]
Com isso, a expressão final é:
[
64a^3 + 144a^2b + 108ab^2 + 27b^3
]
Esses exercícios mostram a importância de entender os produtos notáveis e suas aplicações em matemática. Treinando, fica mais fácil resolver problemas do dia a dia usando essas fórmulas!
