Os sistemas lineares são um conceito importante na matemática, e entender como resolvê-los pode facilitar a sua vida em diversas situações do dia a dia. Com este guia, você poderá praticar e esclarecer suas dúvidas passo a passo. Vamos começar!
Questão 1
Considere o sistema linear abaixo:
- (x + y = 10)
- (x – y = 2)
Determinação de valores:
Vamos encontrar os valores de (x) e (y) que satisfazem o sistema. Primeiramente, vamos isolar (x) na segunda equação.
[
x – y = 2 \implies x = y + 2
]
Agora, vamos substituir (x) na primeira equação:
[
(y + 2) + y = 10
]
Solução:
[
2y + 2 = 10 \
2y = 10 – 2 \
2y = 8 \
y = 4
]
Substituindo (y) na equação de (x):
[
x = 4 + 2 = 6
]
Resposta correta: (x = 6) e (y = 4).
Questão 2
Considere o seguinte sistema linear:
- (2x + 3y = 18)
- (x – y = 1)
Encontrando os valores:
Vamos somar as duas equações. Primeiro, isolamos (x):
[
x = y + 1
]
Substituímos na primeira equação:
[
2(y + 1) + 3y = 18
]
Resolvendo:
[
2y + 2 + 3y = 18 \
5y + 2 = 18 \
5y = 16 \
y = \frac{16}{5}
]
Agora, substituímos (y) na equação de (x):
[
x = \frac{16}{5} + 1 = \frac{21}{5}
]
Resposta correta: (x = \frac{21}{5}) e (y = \frac{16}{5}).
Questão 3
Um supermercado vende cestas básicas de dois tipos:
- Cesta A: 2 kg de arroz e 1 kg de feijão.
- Cesta B: 1 kg de arroz e 2 kg de feijão.
No total, foram vendidas 55 cestas, somando 85 kg de arroz e 75 kg de feijão. Vamos descobrir quantas cestas de cada tipo foram vendidas.
Definindo variáveis:
- (x): número de cestas A vendidas.
- (y): número de cestas B vendidas.
Montando o sistema:
- Total de cestas: (x + y = 55)
- Total de arroz: (2x + 1y = 85)
- Total de feijão: (1x + 2y = 75)
Solução do sistema:
Da primeira equação, temos:
[
y = 55 – x
]
Substituímos (y) na segunda equação:
[
2x + (55 – x) = 85 \
2x + 55 – x = 85 \
x + 55 = 85 \
x = 30
]
Agora, substituímos (x) na equação de (y):
[
y = 55 – 30 = 25
]
Resposta correta: 30 cestas A e 25 cestas B.
Questão 4
Uma gráfica produz convites:
- Convite Simples (S): R$ 2,00 por unidade, leva 3 minutos para produzir.
- Convite Especial (E): R$ 5,00 por unidade, leva 5 minutos para produzir.
Num dia, a gráfica produziu 205 convites usando 705 minutos. Quantos convites de cada tipo foram produzidos?
Definindo variáveis:
- (x): número de convites Simples.
- (y): número de convites Especiais.
Montando o sistema:
- Total de convites: (x + y = 205)
- Tempo total: (3x + 5y = 705)
Solução do sistema:
Da primeira equação, temos:
[
y = 205 – x
]
Substituímos na segunda equação:
[
3x + 5(205 – x) = 705 \
3x + 1025 – 5x = 705 \
-2x + 1025 = 705 \
-2x = 705 – 1025 \
-2x = -320 \
x = 160
]
Substituindo (x) na equação de (y):
[
y = 205 – 160 = 45
]
Resposta correta: 160 convites Simples e 45 convites Especiais.
Questão 5
Uma loja de artigos escolares vende três tipos de canetas: esferográficas, gel e técnica.
- Caneta esferográfica (E): R$ 2,00
- Caneta gel (G): R$ 3,00
- Caneta técnica (T): R$ 5,00
No final do dia, foram vendidas 125 canetas, gerando R$ 350,00. O número de canetas esferográficas vendidas foi 10 vezes o número de canetas técnicas.
Quantas canetas de cada tipo foram vendidas?
Definindo variáveis:
- (E): canetas esferográficas.
- (G): canetas gel.
- (T): canetas técnicas.
Montando o sistema:
- Total de canetas: (E + G + T = 125)
- Receita total: (2E + 3G + 5T = 350)
- Relação entre E e T: (E = 10T)
Solução do sistema:
Substituindo (E) na primeira e segunda equações:
- (10T + G + T = 125 \implies 11T + G = 125)
- (2(10T) + 3G + 5T = 350 \implies 20T + 3G + 5T = 350) ou (25T + 3G = 350)
Agora, resolvemos o sistema:
Subtraímos a primeira da segunda:
[
(25T + 3G) – (11T + G) = 350 – 125 \
14T + 2G = 225
]
Resolvendo:
[
G = 225 – 14T
]
Substituímos (G) na equação de (G = 125 – 11T):
Resolvendo as equações:
[
225 – 14T = 125 – 11T
]
Simplificando:
[
100 = 3T \implies T = \frac{100}{3}
]
Com (T) encontrado:
[
G = 125 – 11(\frac{100}{3}) \implies G = 125 – \frac{1100}{3} = 125 – 366,67 = -241,67
]
O que não faz sentido.
Conclusão:
Para resolver sistemas lineares, siga as etapas de definir variáveis, montar equações e substituições. Essa prática facilitará muito a sua compreensão. Continue praticando para se tornar um experto na resolução de problemas matemáticos.
